Question

如果函數f（x）=x²+bx+c對任意的實數x，都有f(1+x)=4f(

x

2

)，那么  f（-1），f（-2），f（2）的值從小到大的順序是

 

．

Answer 1

分析：將已知恒成立的方程化簡得到一次不等式恒成立，令一次項系數為0同時常數項為0列出方程組，求出b，c的值，求出二次函數的對稱軸及開口方向，判斷出函數值的大小．

解答：解：∵f（x）=x²+bx+c對任意的實數x，都有f(1+x)=4f(

x

2

)
即(1+x)2+b(1+x)+c=4(

x2

4

+

b

2

x+c)對任意實數x恒成立
即（b-2）x+3c-b-1=0對任意x恒成立
∴

b-2=0 3c-b-1=0

解得b=2，c=1
所以f（x）=x²+2x+1=（x+1）²
其對稱軸為x=-1，開口向上
所以f（-1）＜f（-2）＜f（2）
故答案為f（-1）＜f（-2）＜f（2）

點評：解決二次函數的性質問題關鍵是求出二次函數的對稱軸及利用二次項系數的符號判斷出開口方向．