Question

將數列{a_n}中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成如下表：
記表中的第一列數a₁，a₂，a₄，a₇，…，構成的數列為{b_n}，b₁=a₁=1，S_n為數列{b_n}的前n項和，且滿足．
（1）求證數列成等差數列，并求數列{b_n}的通項公式；
（2）上表中，若a₈₁項所在行的數按從左到右的順序構成等比數列，且公比q為正數，求當時，公比q的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，知，所以，由此能夠推導出數列{b_n}的通項公式．
（2）因為，所以表中第1行至第12行共含有數列{a_n}的前78項，故a₈₁在表中第13行第三列，由此能求出當時，公比q的值．
解答：解：（1）由已知，當n≥2時，，又b_n=S_n-S_n-1，（1分）
所以．（2分）
即，所以，（4分）
又S₁=b₁=a₁=1，所以數列是首項為1，公差為的等差數列．（5分）
所以，即．（7分）
所以，當n≥2時，，（9分）
因此（10分）
（2）因為，
所以表中第1行至第12行共含有數列{a_n}的前78項，故a₈₁在表中第13行第三列．（12分）
所以，，（13分）
又，所以q=2．（14分）
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要靈活運用數列通項公式的求解方法，合理地利用遞推公式，仔細審題，認真解答．