Question

設橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，上頂點為A，在x軸上有一點B，滿足AB⊥AF₂且F₁為BF₂的中點．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若過A、B、F₂三點的圓恰好與直線相切，判斷橢圓C和直線l的位置關系．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意知F₁（-c，0），F₂（c，0），A（0，b）．
因為AB⊥AF₂，所以在Rt△ABF₂中，．…（2分）
又因為F₁為BF₂的中點，所以，…（4分）
又a²=b²+c²，所以a=2c．
故橢圓的離心率．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，于是，，Rt△ABF₂的外接圓圓心為，半徑r=a．…（8分）
所以，解得a=2，所以c=1，．
所以橢圓的標準方程為：．…（11分）
由得：13x²-24x=0，
∴可得△＞0，所以直線和橢圓相交．…（13分）
分析：（Ⅰ）利用AB⊥AF₂且F₁為BF₂的中點，可得a，c的關系，從而可求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）先求出橢圓的方程，再與直線方程聯立，即可得到結論．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的離心率，考查學生的計算能力，屬于中檔題．