Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都相等，且D，E，F分別為BC，BB₁，AA₁的中點．
（I） 求證：平面B₁FC∥平面EAD；
（II）求證：BC₁⊥平面EAD．

Answer 1

分析：（I）根據直三棱柱的結構特征及已知中直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都相等，結合D，E，F分別為BC，BB₁，AA₁的中點，由三角形的中位線定理，易得AE∥FB₁，DE∥B₁C，進而由面面平行的判定定理得到平面B₁FC∥平面EAD；
（II）根據直三棱柱的結構特征及已知中直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都相等，結合D，E，F分別為BC，BB₁，AA₁的中點，我們可判斷出△ABC是正三角形，進而得到AD⊥BC₁，DE⊥BC₁，結合線面垂直的判定定理即可得到BC₁⊥平面EAD．

解答：證明：（Ⅰ）由已知可得AF∥B₁E，AF=B₁E，
∴四邊形AFB₁E是平行四邊形，
∴AE∥FB₁，…（1分）
∵AE?平面B₁FC，FB₁?平面B₁FC，
∴AE∥平面B₁FC；        …（2分）
又 D，E分別是BC，BB₁的中點，
∴DE∥B₁C，…（3分）
∵ED?平面B₁FC，B₁C?平面B₁FC，
∴ED∥平面B₁FC；          …（4分）
∵AE∩DE=E，AE?平面EAD，ED?平面EAD，…（5分）
∴平面B₁FC∥平面EAD．…（6分）
（Ⅱ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴C₁C⊥面ABC，又∵AD?面ABC，
∴C₁C⊥AD．…（7分）
又∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都相等，D是BC邊中點，
∴△ABC是正三角形，∴BC⊥AD，…（8分）
而C₁C∩BC=C，CC₁?面BCC₁B₁，BC?面BCC₁B₁，
∴AD⊥面BCC₁B₁，…（9分）
故 AD⊥BC₁．…（10分）∵四邊形BCC₁B₁是菱形，
∴BC₁⊥B₁C，…（11分）
而DE∥B₁C，故 DE⊥BC₁，…（12分）
由AD∩DE=D，AD?面EAD，ED?面EAD，
得   BC₁⊥面EAD．…（13分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中（I）的關鍵是證得AE∥FB₁，DE∥B₁C，（II）的關鍵是證得AD⊥BC₁，DE⊥BC₁．