Question

判斷下列函數的單調性,并說明理由.

(1)y=;

(2)y=x²-2|x|-1.

Answer 1

思路分析:判斷函數的單調性,首先必須確定函數的定義域,而后在定義域內確定單調遞增、遞減區間.含絕對值的函數應先將原函數化為分段函數,在各自的分段區間內確定遞增、遞減區間.

解:(1)由題意3-2x-x²≥0,解得-3≤x≤1,

故函數y=的定義域是[-3,1].

∵3-2x-x²=-(x+1)₂+4,

∴由二次函數的性質可知,此函數在[-3,-1] 上是增函數,在[-1,1]是減函數.

           圖1-3-3

(2)由題意,y=x²-2|x|-1=x²-2x-1=

它的圖象如圖1-3-3所示,可知此函數在區間(-∞,-1和[0,1]上是減函數,在區間[-1, 0]和-∞,-1)上是增函數.

說明:利用基本函數的單調性及函數的圖象是判定函數單調性的常用方法.對于(1),是一個復合函數求單調性的問題,y=可以看作是由y=和u=3-2x-x²兩個函數復合而成的函數,由基本函數的性質可以得到復合函數的性質.

若u=g(x)在[a,b]上是單調增(減)函數,y=f(u)在區間[g(a),g(b)]或[g(b),g(a)]上是單調增(減)函數,那么復合函數y= y=f[a,b]在[a,b]上一定是單調函數,并且有以下結論.

函數	u=g(x)	y=f(u)	y=f[g(x)]
函數的單調性	增函數	增函數	增函數
	增函數	減函數	減函數
	減函數	增函數	減函數
	減函數	減函數	增函數

這一規律類似于我們熟悉的正負數的乘法符號法則,事實上,如果把“增”看成“正”,把“減”看成“負”,則“正正為正”,“負負為正”,分別與“增增為增”,“減減為減”相類似;“正負為負”,“負正為負”分別與“增減為減”,“減增為減”相類似,這樣一來,就容易記住了.

判斷函數的單調性應在定義域的范圍內,本題易忽視定義域,這將導致解題失誤,因為單調性是在定義域內定義的.