Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為

1

2

，短軸長(zhǎng)為4

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線x=2與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，A、B是橢圓O上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線AB的斜率為

1

2

．
①求四邊形APBQ面積的最大值；
②設(shè)直線PA的斜率為k₁，直線PB的斜率為k₂，判斷k₁+k₂的值是否為常數(shù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由短軸長(zhǎng)可得b值，根據(jù)離心率為

1

2

及a²=b²+c²，得a值；
（II）①設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=

1

2

x+t，代人

x2

16

+

y2

12

=1得x的二次方程，四邊形APBQ的面積S=

1

2

×|PQ||x1-x2|=

1

2

|PQ|

(x1+x2)2-4x1x2

．，而|PQ|易求，代入韋達(dá)定理即可求得S的表達(dá)式，由表達(dá)式即可求得S的最大值；②直線PA的斜率k1=

y1-3

x1-2

，直線PB的斜率k2=

y2-3

x2-2

，代入韋達(dá)定理即可求得k₁+k₂的值；

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
由已知b=2

3

，離心率e=

c

a

=

1

2

，a²=b²+c²，得a=4，
所以，橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)為P（2，3），Q（2，-3），則|PQ|=6，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=

1

2

x+t，代人

x2

16

+

y2

12

=1，
得：x²+tx+t²-12=0．
由△＞0，解得-4＜t＜4，由根與系數(shù)的關(guān)系得

x1+x2=-t x1x2=t2-12

，
四邊形APBQ的面積s=

1

2

×6×|x1-x2|=3×

(x1+x2)2-4x1x2

=3

48-3t2

，
故當(dāng)t=0時(shí)，Smax=12

3

；
②由題意知，直線PA的斜率k1=

y1-3

x1-2

，直線PB的斜率k2=

y2-3

x2-2

，
則k1+k2=

y1-3

x1-2

+

y2-3

x2-2

=

1 2 x1+t-3

x1-2

+

1 2 x2+t-3

x2-2

=

1 2 (x1-2)+t-2

x1-2

+

1 2 (x2-2)+t-2

x2-2

=1+

t-2

x1-2

+

t-2

x2-2

=1+

(t-2)(x1+x2-4)

x1x2-2(x1+x2)+4

，
由①知

x1+x2=-t x1x2=t2-12

，
可得k1+k2=1+

(t-2)(-t-4)

t2-12+2t+4

=1+

-t2-2t+8

t2+2t-8

=1-1=0，
所以k₁+k₂的值為常數(shù)0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查直線的斜率公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，具有一定綜合性，難度較大．