Question

已知?jiǎng)又本�與橢圓交于、兩不同點(diǎn)，且△的面積=，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）證明和均為定值；
（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的最大值；
（3）橢圓上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，判斷△的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）；（3）不存在點(diǎn)滿足要求.

試題分析：（1）先檢驗(yàn)直線斜率不存在的情況，后假設(shè)直線的方程，利用弦長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)三角形的面積公式，即可求得與均為定值；（2）由（1）可求線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入并利用基本不等式求最值；（3）假設(shè)存在，使得，由（1）得，，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，可以求出直線的方程，從而得到結(jié)論.
試題解析：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033951362616.png" style="vertical-align:middle;" />在橢圓上，因此   ①
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033951393797.png" style="vertical-align:middle;" />所以   ②
由①、②得，此時(shí)     2分
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為
由題意知，將其代入，得
其中即 （*）
又
所以
因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為
所以

又，整理得，且符合（*）式
此時(shí)

綜上所述，結(jié)論成立         5分
（2）解法一：
（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由（I）知
因此               6分
（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由（I）知

所以

所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立
綜合（1）（2）得的最大值為             9分
解法二：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240339520952022.png" style="vertical-align:middle;" />

所以
即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
因此的最大值為                   9分
（3）橢圓C上不存在三點(diǎn)，使得 10分
證明：假設(shè)存在滿足
由（I）得

解得
所以只能從中選取，只能從中選取
因此只能在這四點(diǎn)中選取三個(gè)不同點(diǎn)
而這三點(diǎn)的兩兩連線中必有一條過(guò)原點(diǎn)
與矛盾
所以橢圓上不存在滿足條件的三點(diǎn)       14分.