Question

如圖，正方形ABCD的邊長為1，正方形ADEF所在平面與平面ABCD互相垂直，G，H是DF，FC的中點．
（1）求證：GH∥平面CDE；
（2）求證：BC⊥平面CDE；
（3）求三棱錐G-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）通過G，H分別是DF，FC的中點，說明GH∥CD，然后證明GH∥平面CDE．
（2）平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD，證明DE⊥平面ABCD，ED⊥BC，然后證明BC⊥平面CDE；
（3）點G到平面ABCD的距離h等于點F到平面ABCD的一半，求出底面面積，即可求三棱錐G-ABC的體積．

解答：（1）證明：∵G，H分別是DF，FC的中點，
∴△FCD中，GH∥CD，
∵CD?平面CDE，GH?平面CDE，
∴GH∥平面CDE．
（2）證明：平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD，
∵ED⊥AD，ED?平面ADEF，AD?平面ABCD，∴DE⊥平面ABCD，
∴BC?平面ABCD，∴ED⊥BC，
又∵BC⊥CD，CD∩DE=D，
∴BC⊥平面CDE．
（3）解：依題意：點G到平面ABCD的距離h等于點F到平面ABCD的一半，…（11分）
即：h=

1

2

．…（12分）
∴VC-ABC=

1

3

•

1

2

•1•1•

1

2

=

1

12

．…（14分）
（求底面積對的有1分）

點評：本題考查直線與平面平行與垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，考查計算能力、空間想象能力．