Question

設f（x）=3ax²-2bx+c，若a-b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0．
（1）求證：方程f（x）=0在區間（0，1）內有兩個不等的實數根；
（2）若a，b，c都為正整數，求a+b+c的最小值．

Answer 1

分析：（1）f（0）=c＞0①，f（1）=3a-2b+c＞0，所以a-b+c=0，由此得：a-b＜0⇒a＜b，由2a-b＞0⇒2a＞b，2a＞b＞a．b=a+ca＞c．方程f（x）=0在區間（0，1）內有兩個不等的實數根；
（2）若a，b，c都為正整數，f（0）、f（1）都是正整數，設f（x）=3a（x-x₁）（x-x₂），由此能求出a+b+c的最小值．

解答：證明：（1）f（0）=c＞0①，
f（1）=3a-2b+c＞0②，a-b+c=0③，
由①③得：a-b＜0⇒a＜b④，由②③得：2a-b＞0⇒2a＞b⑤，
由④⑤得：2a＞b＞a⑥，∵b=a+c代入②得：a＞c∴a＞0
∴由⑤得：1＜

b

a

＜2…（4分）
∵對稱軸x=

b

3a

∈(

1

3

，

2

3

)，
又f（0）＞0，f（1）＞0
且△=4b²-12ac=4（a+c）²-12ac=（2a-c）²+3c²＞0
∴方程f（x）=0在（0，1）內有兩個不等實根．…（10分）
（2）若a，b，c都為正整數，f（0）、f（1）都是正整數，
設f（x）=3a（x-x₁）（x-x₂），其中x₁，x₂是f（x）=0的兩根，
則x₁，x₂∈（0，1），且x₁≠x₂
∵1≤f(0)f(1)=9a2x1(1-x1)x2(1-x2)＜

9a2

16

∴9a²＞16，a為正整數，
∴a≥2，
∴a+b+c≥2+（2+c）+c=4+2c≥6…（15分）
若取a=2，則

b

a

=

b

2

∈(1，2)得：b∈（2，4）
∵b為正整數，∴b=3，c=b-a=1f（x）=6x²-6x+1=0的兩根都在區間（0，1）內，
∴a+b+c的最小值為6．…（18分）

點評：本題考查二次函數的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意韋達定理的合理運用．