Question

【題目】已知函數在時取得極值且有兩個零點.

（1）求的值與實數的取值范圍；

（2）記函數兩個相異零點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先對函數求導，根據極值點求出，得到函數解析式，再由有兩個零點，得到方程有2個不同實根，令，根據導數的方法研究單調性與最值，即可求出的取值范圍；

（2）利用函數零點的性質，結合函數單調性和導數之間的關系，進行轉化即可證明不等式.

（1）因為，所以，

又在時取得極值，所以，即；

所以，

因為有兩個零點，所以方程有2個不同實根，

令，則，

由得；由得；

所以函數在上單調遞增；在上單調遞減，

所以，又時，；時，；

因此，要使方程有2個不同實根，只需與有兩不同交點，

所以；

（2）因為函數兩個相異零點，所以，①；

即，即②；

又等價于，即③；

由①②③可得；

不妨令，則，

上式可化為；

設，則在上恒成立；

故函數在上單調遞增；

所以，即不等式成立；

因此，所證不等式成立.