Question

在邊長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中點，F是DD₁的中點，
（1）求點A到平面A₁DE的距離；
（2）求證：CF∥平面A₁DE；
（3）求二面角E-A₁D-A的平面角大小的余弦值．

Answer 1

（1）解：分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則A（2，0，0），A₁（2，0，2），E（1，2，0），
D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），
∴=（2，0，2），=（1，2，0），=（2，0，0）
設平面A₁DE的法向量是=（a，b，c）
則，∴=（-2，1，2）
∴點A到平面A₁DE的距離是d==；
（2）證明：∵=（0，-2，1），
∴•=-2+2=0，∴⊥，
∴CF∥平面A₁DE；
（3）解：∵平面A₁DA的法向量為=（0，2，0），平面A₁DE的法向量是=（-2，1，2）
∴cos＜＞===．
分析：（1）分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用向量的點到平面的距離公式即可求得點A到平面A₁DE的距離；
（2）確定•=-2+2=0，可得⊥，從而可得CF∥平面A₁DE；
（3）確定平面A₁DA的法向量、平面A₁DE的法向量，利用向量的夾角公式，即可得到結論．
點評：本小題主要考查點、線、面間的距離計算、直線與平面平行的判定等基礎知識，考查運算求解能力，考查空間想象能力，屬于中檔題．