Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，離心率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作直線交于、兩點(diǎn)，試問：在軸上是否存在一個定點(diǎn)，使為定值？若存在，求出這個定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）符合條件的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為

解析:

（1）設(shè)橢圓的方程為，由已知得 ，，，

橢圓的方程為 ．

（2）法一：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，又設(shè)，則：

 

①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，則由，

得，即，

，

，

所以 ，

對于任意的值，為定值，所以，得，

所以；

②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，由得．

綜上述①②知，符合條件的點(diǎn)存在，起坐標(biāo)為．

法二：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，又設(shè)則：

，

=．

①當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，得，

，

．

設(shè)則

，，．

②當(dāng)直線的斜率為時(shí)，直線，由得：

．

綜上述①②知，符合條件的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為．