Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，右頂點(diǎn)為A，P是橢圓C₁上任意一點(diǎn)，設(shè)該雙曲線C₂：以橢圓C₁的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，B是雙曲線C₂在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，且c=

a2-b2

（1）設(shè)

PF1

•

PF2

的最大值為2c²，求橢圓離心率；
（2）若橢圓離心率e=

1

2

時，是否存在λ，總有∠BAF₁=λ∠BF₁A成立．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，可知橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示出

PF1

•

PF2

，把點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程求得y，代入

PF1

•

PF2

中求得x²=a²時，

PF1

•

PF2

最大值為b²，進(jìn)而推斷出b²=2c²，根據(jù)a，b和c的關(guān)系求得a和c的關(guān)系，則離心率可得．
（2）根據(jù)離心率可求得a和c的關(guān)系，設(shè)出雙曲線方程，設(shè)B（x₀，y₀）代入雙曲線方程，先看當(dāng)AB⊥x軸時，可求得x₀和y₀進(jìn)而求得∠BAF₁=

π

2

=2∠BF₁A；在看x≠2c時．表示出tanBAF₁和tan∠BF₁A，利用正切的二倍角公式求得tan2∠BF₁A和tan2∠BF₁A得出tan2∠BF₁A=tanBAF₁的結(jié)論，進(jìn)而判斷出2∠BF₁A=∠BAF₁成立，最后綜合的可得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），又F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）
∴

PF1

=（-c-x，-y），

PF2

=（c-x，-y）
∴

PF1

•

PF2

=x²+y²-c²
又

x2

a2

+

y2

b2

=1，得y²=b²-

x2b2

a2

∵0≤x²≤a²，
∴

PF1

•

PF2

=（1-

b2

a2

）x²+b²-c²=

c2

a2

x²+b²-c²．
x²=a²時，

PF1

•

PF2

最大值為b²
故b²=2c²，
∴a²=3c²，
∴e=

c

a

=

3

3

；
（2）由橢圓離心率e=

1

2

，a=2c，b=

3

c得雙曲線C₂：

x2

c2

-

y2

3c2

=1，A（2c，0）
設(shè)B（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）則

x 02

c2

-

y 02

3c2

=1
①當(dāng)AB⊥x軸時，x₀=2c，y₀=3c．
∴tan∠BF₁A=1，
∴∠BF₁A=45°
∴∠BAF₁=

π

2

=2∠BF₁A．
當(dāng)x≠2c時．
tanBAF₁=

-y

x0 -a

=

-y

x0 -2c

，tan∠BF₁A=

y0

x0+c

，
∴tan2∠BF₁A=

2tan∠BF1A

1-tan2∠BF1A

=

2y0 x0+c

1-( y0 x0+c )2

∵y₀²=3c²（

x 2 0

c2

-1）=3（x₀²-c²）
∴tan2∠BF₁A=

2y0(x0+c)

(x0+c)2-3(  x 2 0  -c2)

=

-y

x0 -2c

=tanBAF₁，

又2∠BF₁A與∠BAF₁同在（0，

π

2

）或（

π

2

，π）內(nèi)
2∠BF₁A=∠BAF₁
總2∠BF₁A=∠BAF₁有成立．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，向量的基本計算，正切的二倍角公式等．考查了學(xué)生綜合分析和推理能力．