Question

出于應用方便和數學交流的需要，我們教材定義向量的坐標如下：取和為直角坐標第xOy中與x軸和y軸正方向相同的單位向量，根據平面向量基本定理，對于該平面上的任意一個向量，則存在唯一的一對實數λ，μ，使得=+μ，我們就把實數對（λ，μ）稱作向量的坐標．并依據這樣的定義研究了向量加法、減法、數乘向量及數量積的坐標運算公式．現在我們用和表示斜坐標系x‘Oy’中與x‘軸和y軸正方向相同的單位向量，其中＜，＞=，
（1）請你模仿直角坐標系xOy中向量坐標的定義方式，用向量和做基底向量定義斜坐標系x‘Oy’平面上的任意一個向量的坐標；
（2）在（1）的基礎上研究斜坐標系x‘Oy’中向量的加法、減法、數乘向量及數量積的坐標運算公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）用和表示斜坐標系x‘Oy’中與x‘軸和y軸正方向相同的單位向量，對于平面向量，存在唯一的實數對p，q，使得，定義數對（p，q）為向量在斜坐標系下的坐標．
（2）設出兩個向量的坐標，模仿直角坐標系中兩個向量的加法，減法，數乘和數量積寫出來，只是在兩個向量數量積的運算中，注意應用數量積的運算律．
解答：解：（1）根據平面向量基本定理，用和表示斜坐標系x‘Oy’中與x‘軸和y軸正方向相同的單位向量，
對于平面向量，存在唯一的實數對p，q，使得，定義數對（p，q）為向量在斜坐標系下的坐標．
（2）設在斜坐標系中的坐標分別為（a₁，b₁），（a₂，b₂），
那么=（a₁+a₂，b₁+b₂）
=（a₁-a₂，b₁-b₂）
λ=（λa₁，λb₁）
=a₁a₂+b₁b₂+
點評：本題考查平面向量正交分解的應用，考查一個新定義問題，考查兩個向量的四則運算，考查學生的理解能力和應變能力，是一個比較好的題目．