Question

桑基魚塘是廣東省珠江三角洲一種獨具地方特色的農業生產形式．
某研究單位打算開發一個桑基魚塘項目，該項目準備購置一塊占地
1800平方米的矩形地塊，中間挖成三個矩形池塘養魚，挖出的泥土
堆在池塘四周形成基圍（陰影部分所示）種植桑樹，魚塘周圍的基圍
寬均為2米，如圖所示，池塘所占面積為S平方米，其中a：b=1：2．
（1）試用x，y表示S；
（2）若要使S最大，則x，y的值各為多少？

Answer 1

分析：（1）由已知該項目占地為1800平方米的矩形地塊，我們可得xy=1800，結合圖形還易得b=2a，及y=a+b+6=3a+6，由此我們易將池塘所占面積S表示為變量x，y的函數．
（2）要求S的最大值，我們有三種思路：①根據xy=1800，直接使用基本不等式；②根據xy=1800，消元后再使用基本不等式；③根據xy=1800，消元后利用導數判斷函數的單調性，再求最大值．

解答：解：（1）由題可得：xy=1800，b=2a，
則y=a+b+6=3a+6，
即a=

y-6

3

．
S=（x-4）a+（x-6）×b=（3x-16）

y-6

3

=1832-6x-

16

3

y（x＞0）．
（2）法一：S=1832-6x-

16

3

y≤1832-2

6x× 16 3 y

=1832-480=1352，
當且僅當6x=

16

3

y，即x=40，y=45時，S取得最大值1352．
法二：S=1800-6x-

16

3

×

1800

x

+32=1832-（6x+

9600

x

）≤1832-2

6x 9600 x

=1832-480=1352，
當且僅當6x=

9600

x

，即x=40時取等號，S取得最大值．
此時y=

1800

x

=45．
法三：設S=f（x）=1832-（6x+

9600

x

）（x＞0）
f′（x）=

9600

x2

-6=

6(40-x)(40+x)

x2

．
令f′（x）=0，得x=40．
當0＜x＜40時，f′（x）＞0；當x＞40時，f′（x）＜0．
∴當x=40時，S取得最大值，此時y=45．

點評：函數的實際應用題，我們要經過析題→建模→解模→還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（小）化問題，利用函數模型，轉化為求函數的最大（小）是最優化問題中，最常見的思路之一．