Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，其中a₁=1，S_n+1=2S_n+1，（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{

1

an

}的前n項和為T_n，求滿足不等式T_n＜

9

Sn+1

的n值．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據S_n+1=2S_n+1，求得Sn=2S_n-1+1兩式相減求得a_n+1=2a_n，判斷出{a_n}是一個等比數列．進而根據首項和公比求得數列的通項公式，
（2）根據等比數列的求和公式求得前n項的和，解不等式即可求出n的值．

解答： 解：（1）∵S_n+1=2S_n+1，
∴n≥2時，S_n=2S_n-1+1，
二式相減得：S_n+1-S_n=2S_n-2S_n-1
∴a_n+1=2a_n，即

an+1

an

=2，即{a_n}是一個等比數列．q=2，a₁=1
那么a_n=1×2^n-1=2^n-1．
（2）S_n=

1-2n

1-2

═2ⁿ-1，

1

an

=

1

2n-1

=(

1

2

)n-1，
則數列{

1

an

}是首項為1，公比q=

1

2

的等比數列，
則數列{

1

an

}的前n項和為T_n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-(

1

2

)n-1，
則不等式T_n＜

9

Sn+1

等價為2-(

1

2

)n-1＜

9

2n

，
即

9

2

•(

1

2

)n-1+(

1

2

)n-1=

11

2

•(

1

2

)n-1＞2，
即(

1

2

)n-1＞

4

11

，
則當n=1時，1＞

4

11

，成立，
當n=2時，

1

2

＞

4

11

，成立，
當n=3時，

1

4

＞

4

11

，不成立，
故滿足不等式T_n＜

9

Sn+1

的n值為1或2．

點評：本題主要考查了數列的遞推式．常需要借助數列的遞推式把數列轉化成等差或等比數列來解決問題．