Question

(08年莆田四中二模理)（12分）已知，如圖四棱錐中，底面是平行四邊形，，垂足在上，且，，，，是的中點(diǎn).

（1）求異面直線與所成的角；

（2）求點(diǎn)到平面的距離；

（3）若點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且，求的值.

Answer 1

解析：解法一：（1）在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作交于，連結(jié)，

則（或其補(bǔ)角）就是異面直線與所成的角.

在中，，

由余弦定理得，=

∴異面直線與所成的角為arccos

（2）∵平面，平面∴平面⊥平面

在平面內(nèi)，過(guò)作，交延長(zhǎng)線于，則⊥平面

∴的長(zhǎng)就是點(diǎn)到平面的距離

在，∴點(diǎn)到平面的距離為

（3）在平面內(nèi)，過(guò)作，為垂足，連結(jié)，又因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090422/20090422113834032.gif' width=69>

∴平面， ∴

 

由平面⊥平面，∴⊥平面 ∴

由得：

解法二：（1）由已知∴

如圖所示，以G點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系o―xyz，則

，，故

∴異面直線與所成的角為arccos  4分

（2）平面PBG的單位法向量

∴點(diǎn)到平面的距離為  ------------- 8分

（3）設(shè)

在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，為垂足，則     -------------   12分