Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

(Ⅰ)求F(x)=f(x)g(x)的單調(diào)區(qū)間，若F(x)有最值，請(qǐng)求出最值；

(Ⅱ)是否存在正常數(shù)，使f(x)與g(x)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且在該公共點(diǎn)處有共同的切線？若存在，求出的值，以及公共點(diǎn)坐標(biāo)和公切線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，最小值為，無(wú)最大值 ；

(Ⅱ)存在，使的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且在該公共點(diǎn)處有共同的切線，易求得公共點(diǎn)坐標(biāo)為，公切線方程為。

【解析】（1）求F（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間，及函數(shù)F（x）的最值，考慮到先列出函數(shù)的表達(dá)式，再根據(jù)表達(dá)式求出導(dǎo)函數(shù)F′（x），根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間的正負(fù)性判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再使導(dǎo)函數(shù)等于0求出函數(shù)的極值，即可得到答案．

（2）若f(x)與g(x)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則方程有且只有一解，所以函數(shù)F(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn),由(Ⅰ)的結(jié)論可知.當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）與g（x）的一個(gè)公共點(diǎn)，并求它們?cè)谠摴�共點(diǎn)處的切線方程，故根據(jù)（1）可判斷方程F（x）=f（x）-g（x）有最小值0，故此點(diǎn)即為f（x）與g（x）的一個(gè)公共點(diǎn)．再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出公共點(diǎn)處切線．即可根據(jù)直線方程的求法求出切線方程．

(Ⅰ)…………  1分

①當(dāng)0時(shí)，恒成立，F(xiàn)(x)在(0,+)上是增函數(shù)，F(xiàn)(x)只有一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間(0,+)，沒(méi)有最值．…………2分

②當(dāng)時(shí)，，

若，則上單調(diào)遞減；

若，則上單調(diào)遞增，

∴當(dāng)時(shí)，有極小值，也是最小值，

即 ………… 5分

所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為

單調(diào)遞增區(qū)間為，最小值為，無(wú)最大值 ………… 6分

(Ⅱ)方法一，若f(x)與g(x)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

則方程有且只有一解，所以函數(shù)F(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)  …… 7分

由(Ⅰ)的結(jié)論可知 …………  8分

此時(shí)，，

∴∴f(x)與g(x)的圖象的唯一公共點(diǎn)坐標(biāo)為

又，∴f(x)與g(x)的圖象在點(diǎn)處有共同的切線，

其方程為，即 …………  12分

綜上所述，存在，使的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的公切線方程為 …………  14分

方法二：設(shè)圖象的公共點(diǎn)坐標(biāo)為，

①   ②

根據(jù)題意得，即

由②得，代入①得，從而 ………… 8分

此時(shí)由（1）可知，∴時(shí)，

因此除外，再?zèng)]有其它，使 ………… 11分

故存在，使的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且在該公共點(diǎn)處有共同的切線，易求得公共點(diǎn)坐標(biāo)為，公切線方程為 ………… 12分