Question

已知定點(diǎn)A(0，a)(a＞0)，直線l₁：y＝－a交y軸于點(diǎn)B，記過點(diǎn)A且與直線l₁相切的圓的圓心為點(diǎn)C．

(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程；

(Ⅱ)設(shè)傾斜角為α的直線l₂過點(diǎn)A，交軌跡E于兩點(diǎn)P、Q，交直線l₁于點(diǎn)R．

(1)若tanα＝1，且ΔPQB的面積為，求a的值；

(2)若α∈[，]，求|PR|·|QR|的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(Ⅰ)連CA，過C作CD⊥l1，垂足為D，由已知可得|CA|＝|CD|， 　　∴點(diǎn)C的軌跡是以A為焦點(diǎn)，l1為準(zhǔn)線的拋物線， 　　∴軌跡E的方程為x2＝4ay　　(4分) 　　(Ⅱ)直線l2的方程為y＝kx＋a，與拋物線方程聯(lián)立消去y得x2－4akx－4a2＝0． 　　記P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 　　則x1＋x2＝4ak，x1x2a2＜0　　(6分) 　　(1)若tanα＝1，即k＝1，此時(shí)x1＋x2＝4a，x1x2＝－4a2． 　　∴SΔBPQ＝SΔABP＋SΔABQ＝a|x1|＋a|x2|＝a|x2－x1| 　　＝a＝a＝a＝4a2　　(8分) 　　∴4a2＝，注意到a＞0，∴a＝　　(9分) 　　(2)因?yàn)橹本�PA的斜率k≠0，易得點(diǎn)R的坐標(biāo)為(，－a)　　(10分) 　　|PR|·|QR|＝·＝(x1＋，y1＋a)·(x2＋，y2＋a) 　　＝(x1＋)(x2＋)＋(kx1＋2a)(kx2＋2a) 　　＝(1＋k2)x1x2＋(＋2ak)(x1＋x2)＋＋4a2 　　＝－4a2(1＋k2)＋4ak(＋2ak)＋＋4a2＝4a2(k2＋)＋8a2≥8a2＋8a2＝16a2 　　又α∈[，]，∴k∈[，1]， 　　當(dāng)且僅當(dāng)k2＝，即k＝1時(shí)取到等號(hào)　　(12分) 　　從而|PR|·|QR|的最小值為16a2　　(14分)