Question

（09年如東熱身卷）（10分）（10分）已知數列中，a_n=n（n+1）（n+2）.又S_n=kn（n+1）（n+2）（n+3），試確定常數k，使S _n恰為的前n項的和，并用數學歸納法證明你的結論.

Answer 1

解析：由a₁=S₁,k=.下面用數學歸納法進行證明.

1°.當n=1時，命題顯然成立；

2°.假設當n=k(kN*)時，命題成立,

即1?2?3+2?3?4+……+ k（k+1）（k+2）= k（k+1）（k+2）（k+3）,

則n=k+1時，1?2?3+2?3?4+……+ k（k+1）（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）= k（k+1）（k+2）（k+3）+（k+1）（k+2）（k+3）

=( k+1)（k+1+1）（k+1+2）（k+1+3）

即命題對n=k+1.成立

由1°, 2°，命題對任意的正整數n成立.