Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）是否存在常數(shù)，使得對(duì)于定義域內(nèi)的任意，恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間為和；（2）存在常數(shù)滿足題意.

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)可得當(dāng)或時(shí)和；

（2）原命題化為.①當(dāng)時(shí)，原命題化為，再利用導(dǎo)數(shù)工具可得.②當(dāng)時(shí)，原命題化為恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)工具可得，即存在常數(shù)滿足題意.

試題解析：（1），又由題意有：，故.此時(shí)，，由或，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和.（2）要恒成立，即.①當(dāng)時(shí)，，則要：恒成立，令，再令，所以在內(nèi)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，故，所以在內(nèi)遞增，.②當(dāng)時(shí)，，則要：恒成立，由①可知，當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，，故，所以在內(nèi)遞增，.綜合①②可得：，即存在常數(shù)滿足題意.