Question

【題目】已知函數函數f（x）=（ ） ．
（1）求函數f（x）的值域
（2）求函數的單調遞減區間．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意：函數f（x）=（ ） 是復合函數，

令﹣x2﹣4x+2=t，則函數f（x）=（ ） 轉化為g（t）= ，可知函數g（t）在其定義域內是減函數．

根據二次函數的性質可知：

函數t：開口向下，對稱軸x=﹣2，

當x=﹣2時，函數t取得最大值為6．

故得t∈（﹣∞，6]．

那么函數g（t）= 的最小值為g（6）max= ，即函數f（x）的最小值為 ．

故得函數f（x）的值域為[ ，+∞）

（2）解：由（1）可知：函數t在x∈（﹣∞，﹣2）上是單調遞增，在x∈（﹣2，+∞）上單調遞減．

根據復合函數的單調性“同增異減”可得：

∴函數f（x）=（ ） 的單調遞減區間為（﹣∞，﹣2）

【解析】（1）根據題意f（x）是復合函數，將其分解成基本函數，利用復合函數的單調性求值域．（2）根據復合函數的單調性“同增異減”可得答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的值域的相關知識，掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，以及對函數的單調性的理解，了解注意：函數的單調性是函數的局部性質；函數的單調性還有單調不增，和單調不減兩種．