Question

已知函數y=asinx+bcosx+c的圖象上有一個最低點(

11

6

π，1)，如果圖象上每點縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的

3

π

倍，然后向左平移1個單位可得y=f（x）的圖象，又知f（x）=3的所有正根依次為一個公差為3的等差數列，求f（x）的解析式、最小正周期、單調減區間，并畫出f（x）的草圖．

Answer 1

分析：先利用輔助角公式對函數化簡可得，y=asinx+bcosx+c=

a2+b2

sin(x+?)+c，由(

11

6

π，1)是圖象上的最低點可得取得最值的條件x=

11π

6

及最小值為1即

11 6 π+?=2kπ- π 2 - a2+b2 +c=1

，從而可求函數解析式再由f（x）=3的所有正根依次為一個公差為3的等差數列，可得曲線y=f（x）與直線y=3的相鄰交點間的距離都相等，根據三角函數的圖象與性質，即過f（x）的最高點或最低點，要么過曲線的拐點（平衡位置點），且由于(

11

6

π，1)是圖象上的最低點，結合已知可求答案．

解答：解：y=asinx+bcosx+c=

a2+b2

sin(x+?)+c，
其中φ滿足tan?=

b

a

，φ與（a，b）同象限，
由于(

11

6

π，1)是圖象上的最低點，所以

11 6 π+?=2kπ- π 2 - a2+b2 +c=1

，
即

?=2kπ- 7π 3 a2+b2 =c-1

．所以y=(c-1)sin(x+2kπ-

7

3

π)+c=(c-1)sin(x-

π

3

)+c，
將上述圖象上每點縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的

3

π

倍，
得y=(c-1)sin(

π

3

x-

π

3

)+c
然后向左平移1個單位可得y=(c-1)sin(

π

3

(x+1)-

π

3

)+cy=(c-1)sin

π

3

x+c，
所以f(x)=(c-1)sin

π

3

x+c，T=

2π

π 3

=6．
由于f（x）=3的所有正根依次為一個公差為3的等差數列，
即曲線y=f（x）與直線y=3的相鄰交點間的距離都相等，
根據三角函數的圖象與性質，直線y=3要么與曲線y=f（x）相切，
即過f（x）的最高點或最低點，要么過曲線的拐點（平衡位置點），注意到(

11

6

π，1)是圖象上的最低點，
故：當y=3與曲線y=f（x）在最高點相切時，即sin

π

3

x=1，f（x）=2c-1=3，
所以c=2，此時周期應為公差3，這將與上面已知周期為6矛盾．故舍去
當y=3過曲線y=f（x）拐點（平衡位置點）時，即sin

π

3

x=0，f（x）=c=3，
此時周期為6恰為公差3的2倍，符合題意．
所以f(x)=2sin

π

3

x+3，由2kπ+

π

2

≤

π

3

x≤2kπ+

3

2

π，k∈z，
得6k+

3

2

≤x≤6k+

9

2

，k∈z，y=f（x）單調減區間[6k+

3

2

，6k+

9

2

](k∈z)，草圖為：

點評：本題主要考查了輔助角公式的應用，三角函數的圖象變換，三角函數與數列的綜合，直線與曲線的關系等知識的綜合運用，屬于綜合試題，要求考生具備一定的推理論證的能力．