Question

已知p：f'（x）是f(x)=

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x3-x2-35x+7的導函數，且f'（a）＜0；q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={ x|x＞0}，且A∩B=∅．求實數a的取值范圍，使“p或q”為真命題，“p且q”為假命題．

Answer 1

分析：先分別求命題p，q為真時，a的范圍，p或q”為真命題，“p且q，則p，q一真一假，分p真q假和p假q真兩種情況求出a的范圍，而“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，即“p，q一真一假”為假命題，所以，“p，q一真一假”的否命題為真，再求出剛才所求a的范圍的補集即可．

解答：解：先考慮p：∵f(x)=

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x3-x2-35x+7，
∴f'（x）=x²-2x-35，可得f'（a）=a²-2a-35＜0，解得：-5＜a＜7．
再考慮q：①當△＜0時，A=Φ，A∩B=Φ，
此時由（a+2）²-4＜0得-4＜a＜0； ②當△≥0時，
由A∩B=Φ可得：

△=(a+2)2-4≥0 x1+x2=-(a+2)＜0 x1x2=1＞0

，解得a≥0．由①②可知a＞-4．（9分）
要使p真q假，則

-5＜a＜7 a≤-4

⇒-5＜a≤-4；要使p假q真，則

a≤-5或a≥7 a＞-4

⇒a≥7，
綜上所述，當a的范圍是（-5，-4]∪[7，+∞）時，p、q中有且只有一個為真命題．（12分）

點評：本題考查了復合命題的真假判斷，題目具有一定迷惑性，做題時須認真讀題，找到正確方法．