Question

如圖所示，PA⊥平面ABCD，ABCD是邊長為1的正方形．點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．
（1）當點E為BC的中點時，試在AB上找一點G，使得平面PAC∥平面EFG．求此時AG的長度；
（2）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF．

Answer 1

分析：（1）當G為AB中點時，平面PAC∥平面EFG，連接GF，GE，證明GE∥平面PAC，EF∥平面PAC即可；
（2）無論點E在邊BC的何處，證明AF⊥平面PBC，從而都有PE⊥AF．

解答：（1）解：當G為AB中點時，平面PAC∥平面EFG，連接GF，GE，
∵G為AB中點，E為BC的中點，
∴GE∥AC，
∵GE?平面PAC，AC?平面PAC，
∴GE∥平面PAC，
同理EF∥平面PAC，
∵GE∩EF=E，
∴平面PAC∥平面EFG，此時，AG=

1

2

；
（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥BC，
∵PA=AB=1，F為PB的中點，
∴AF⊥PB，
∵BC⊥AB，AB∩PA=A，
∴BC⊥平面PAB，
∵AF?平面PAB，
∴BC⊥AF，
∵BC∩PB=B，AF⊥PB，BC⊥AF，
∴AF⊥平面PBC，
∵PE?平面PBC，
∴AF⊥PE．

點評：本題考查線面平行，面面平行的判定，考查線面垂直，線線垂直，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．