Question

“關于x的不等式

x-3

+

6-x

≥k有解”是“關于x的不等式|1-x|+|x+2|≥k恒成立”的（　　）

• A、充分而不必要條件
• B、必要而不充分條件
• C、充分必要條件
• D、既不充分又不必要條件

Answer 1

分析：首先分析題目求“關于x的不等式

x-3

+

6-x

≥k有解”是“關于x的不等式|1-x|+|x+2|≥k恒成立”的什么條件，故需要分別解出前者，后者分別滿足的條件，然后分別判斷前者后者之間的包含關系，即可判斷出答案．在解后者恒成立的問題時，用到絕對值不等式的性質求解出最小值，使k小于最小值即滿足恒成立．

解答：解：x的不等式

x-3

+

6-x

≥k有解，
因為不等式

x-3

+

6-x

≥k成立，必須滿足平方根下為非負數．
即：3≤x≤6

x-3

+

6-x

=

(x-3)+(6-x)+2 x-3 6-x

=

3+ 2 x-3 6-x

≤

6

于是必有0＜k≤

6

，不等式才有解．
對于|1-x|+|x+2|≥k
由絕對值不等式|1-x|+|x+2|≥|1-x+x+2|=3，即必須滿足k≤3才滿足恒成立．
故前者是后者的子集，即前者是后者的充分不必要
故選A．

點評：此題主要考查絕對值不等式的解法問題，其中涉及到充分條件、必要條件的判斷，屬于綜合性的問題，有一定的計算量和技巧性，屬于中檔題型．