Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若，且在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在上的最小值為？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）實(shí)數(shù)是存在的，且.

【解析】試題分析：（1）首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由已知在時(shí)恒成立，得，又由，即可求解正實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）利用反證法，假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，則在時(shí)恒成立，可得，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)，即可求解參數(shù)的取值.

試題解析：（1），由已知在時(shí)恒成立，即恒成立，分離參數(shù)得，又，所以正實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（2）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，則在時(shí)恒成立，且可以取到等號(hào)，故，即，故，解得，從而這樣的實(shí)數(shù)必須為正實(shí)數(shù).

當(dāng)時(shí)，由（1）知在上遞增，所以，此時(shí)不合題意.故這樣的必須滿足，此時(shí)，令，得的增區(qū)間為；令，得的減區(qū)間為.故，

整理得，即，設(shè)，則上式即為，構(gòu)造，則等價(jià)于，由于為增函數(shù)，為減函數(shù)，故為增函數(shù)，觀察知，故等價(jià)于，與之對(duì)應(yīng)的，綜上符合條件的實(shí)數(shù)是存在的，即.