Question

【題目】如圖，已知直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線為，直線與橢圓分別交于點(diǎn)、和、，記直線的斜率為.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）當(dāng)變化時(shí)，試問(wèn)直線是否恒過(guò)定點(diǎn)? 若恒過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不恒過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）可以設(shè)直線的方程為，再設(shè)直線上任意一點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，于是分別表示出，由直線對(duì)稱性可知， 所在直線與垂直，且中點(diǎn)在上，于是整理得出的值；（Ⅱ）本問(wèn)考查橢圓中直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，設(shè)，將AM方程與橢圓方程聯(lián)立，可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理將直線AN方程與橢圓方程聯(lián)立，可以求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)，可以求出直線MN的方程，從而判定直線MN是否過(guò)定點(diǎn).

試題解析：（Ⅰ）設(shè)直線上任意一點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為

直線與直線的交點(diǎn)為，∴

，由

得……..①

由得…….②，

由①②得

.

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，由得，

∴，∴.

同理： ，

，∴

即：

∴當(dāng)變化時(shí)，直線過(guò)定點(diǎn).