Question

已知雙曲線的左、右焦點分別為F₁、F₂,離心率為且過點(4,-).

(1)求雙曲線的標準方程;

(2)直線x=3與雙曲線交于M、N兩點,求證:F₁M⊥F₂M.

Answer 1

1、雙曲線方程為x²-y²=6.

2、見解析

解析:

(1) e=,則=2,

∴a=b.故可設雙曲線的方程為x²-y²=λ(λ≠0).

由于雙曲線過點(4,-),

∴4²-(-)²=λ.∴λ=6.

∴雙曲線方程為x²-y²=6.

(2)證明:由(1)可得F₁(-2,0)、F₂(2,0)、?M(3,)、N(3,-).

∴

∴=-1.∴F₁M⊥F₂M.