Question

（2012•山東）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．
（Ⅰ）求證：a，b，c成等比數列；
（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析：（I）由已知，利用三角函數的切化弦的原則可得，sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinC，利用兩角和的正弦公式及三角形的內角和公式代入可得sin²B=sinAsinC，由正弦定理可證
（II）由已知結合余弦定理可求cosB，利用同角平方關系可求sinB，代入三角形的面積公式S=

1

2

acsinB可求．

解答：（I）證明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC
∴sinB（

sinA

cosA

 + 

sinC

cosC

）=

sinAsinC

cosAcosC

∴sinB•

sinAcosC+sinCcosA

cosAcosC

=

sinAsinc

cosAcosC

∴sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinc
∴sinBsin（A+C）=sinAsinC，
∵A+B+C=π
∴sin（A+C）=sinB
即sin²B=sinAsinC，
由正弦定理可得：b²=ac，
所以a，b，c成等比數列．
（II）若a=1，c=2，則b²=ac=2，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3

4

，
∵0＜B＜π
∴sinB=

1-cos2B

=  

7

4

∴△ABC的面積S=

1

2

acsinB=

1

2

×1×2×

7

4

=

7

4

．

點評：本題主要考查了三角形的切化弦及兩角和的正弦公式、三角形的內角和定理的應用及余弦定理和三角形的面積公式的綜合應用．