Question

把函數y=lnx-2的圖象按向量a=(-1,2)平移得到函數y=f(x)的圖象.

(1)若x＞0，證明：f(x)＞；

(2)若不等式x²≤f(x²)+m²-2bm-3對b∈［-1,1］,x∈［-1,1］時恒成立，求實數m的取值范圍.

Answer 1

答案：(1)證明：依題意有f(x)=ln(x+1),令F(x)=f(x)=ln(x+1)，

則F′(x)=.                               

∴當x＞0時，F′(x)＞0，x=0，F′(x)=0，

∴F(x)在[0，+∞)上單調遞增.

∴x＞0時，F(x)＞F(0)=0，即f(x)＞0,∴f(x)＞.                       

(2)解：x²≤f(x²)+m²-2bm-3x²-f(x²)≤m²-2bm-3，

設g(x)=x²-f(x²)=x²-ln(x²+1)，則g′(x)=x.                   

令g′(x)=0，得x=0或±1，

列表分析最值：

x	-1	(-1，0)	0	(0，1)	1
g′(x)	0	+	0	-	0
g(x)	極小值為-ln2	遞增	極大值為0	遞減	極小值為-ln2

∴當x∈［-1,1］時，g(x)_max=0，

∴不等式x²-f(x²)≤m²-2bm-3對b∈［-1,1］及x∈［-1,1］時恒成立0≤m²-2bm-3對b∈［-1,1］時恒成立.

令h(b)=m²-2bm-3，則

解得m≥3或m≤-3.

故m的取值范圍為(-∞,-3］∪［3,+∞).