Question

已知拋物線．
(1)若圓心在拋物線上的動圓，大小隨位置而變化，但總是與直線相切，求所有的圓都經過的定點坐標；
(2)拋物線的焦點為,若過點的直線與拋物線相交于兩點,若,求直線的斜率；
(3)若過點且相互垂直的兩條直線,拋物線與交于點與交于點．
證明：無論如何取直線,都有為一常數．

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明見解析．

解析試題分析：（1）本題考查拋物線的定義，由于直線是已知拋物線的的準線，而圓心在拋物線上的圓既然與準線相切，則它必定過拋物線的焦點，所以所有的圓必過拋物線的焦點，即定點；（2）這是直線與拋物線相交問題，設如設，，則，兩式相減有，則，下面就是要求或，為此，我們設直線方程為，把它與拋物線方程聯立方程組，消去，就可得到關于的方程，可得，，只是里面含有，這里解題的關鍵就是已知條件怎樣用？實際上有這個條件可得，這樣與剛才的，合起來就能求出；（3）由于直線過焦點，因此弦長可用拋物線的定義來求，設方程為，，同理，直線計算，可證結論．
試題解析：(1) 由定義可得定點(1,0);（4分）
(2)設,由,得（5分）
由方程組,得
得（7分）
聯立上述方程求得:（9分）
(3) 由,得（11分）
則,（12分）
同理: ,（14分）
因此為常數．（16分）
考點：(1)拋物線的定義；（2）直線和與拋物線相交與向量的應用；(3)圓錐曲線綜合問題．