Question

（2012•日照一模）給出下列四個命題：
①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；
②若0＜a＜1，則函數f（x）=x²+a^x-3只有一個零點；
③函數y=sin(2x-

π

3

)的一個單調增區間是[-

π

12

，

5π

12

]；
④對于任意實數x，有f（-x）=f（x），且當x＞0時，f′（x）＞0，則當x＜0時，f′（x）＜0．
其中真命題的序號是

①③④

（把所有真命題的序號都填上）．

Answer 1

分析：根據含有量詞的命題否定法則，得①是真命題；通過舉例說明，結合函數零點存在性定理，可得②不正確；根據正弦函數的圖象與性質，可得③是真命題；根據函數奇偶性與導數奇偶性的關系，并結合奇函數的性質，可得④是真命題．

解答：解：根據含有量詞的命題否定法則，可得命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”，故①正確；
若0＜a＜1，取a=

1

2

，則f（x）=x²+（

1

2

）^x-3滿足：f（0）=-1＜0且f（

3

）=(

1

2

)

3

＞0
所以f（0）•f（

3

）＜0在區間（0，

3

）有一個零點，又有f（-1）=0，故函數f（x）有不止一個零點，故②不正確；
對于③，因為y=sin(2x-

π

3

)的單調增區間為[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]，（k∈Z）
所以取k=0，得函數的一個單調增區間是[-

π

12

，

5π

12

]，故③正確；
對于④，任意實數x有f（-x）=f（x），得函數f（x）是偶函數，可得導數f'（x）是奇函數
所以根據奇函數的性質，可得：“當x＞0時，f′（x）＞0”成立時，
必定有“當x＜0時，f′（x）＜0”成立，故④正確．
故答案為①③④

點評：本題以命題真假的判斷為載體，考查了含有量詞命題的否定、函數零點存在性定理和三角函數的圖象與性質等知識，屬于基礎題．