Question

設f(x)=-x3+x2+2ax.

(1)若f(x)在(,+∞)上存在單調遞增區間,求a的取值范圍.

(2)當0<a<2時,f(x)在[1,4]上的最小值為-,求f(x)在該區間上的最大值.

 

Answer 1

(1) a>- (2) f(x)max=

【解析】(1)f(x)=-x3+x2+2ax,

∴f'(x)=-x2+x+2a,當x∈[,+∞)時,f'(x)的最大值為f'()=+2a.

函數f(x)在(,+∞)上存在單調遞增區間,即導函數在(,+∞)上存在函數值大于零成立,

∴+2a>0a>-.

(2)已知0<a<2,f(x)在[1,4]上取到最小值-,而f'(x)=-x2+x+2a的圖象開口向下,且對稱軸為x=,

∴f'(1)=-1+1+2a=2a>0,

f'(4)=-16+4+2a=2a-12<0,

則必有一點x0∈[1,4]使得f'(x0)=0,此時函數f(x)在[1,x0]上單調遞增,在[x0,4]上單調遞減,

f(1)=-++2a=+2a>0,

∴f(4)=-×64+×16+8a=-+8a,

∴-+8a=-,得a=1,

此時,由f'(x0)=-+x0+2=0得x0=2或-1(舍去),

所以函數f(x)max=f(2)=.