Question

【題目】已知拋物線，其中．點在的焦點的右側，且到的準線的距離是與距離的3倍．經過點的直線與拋物線交于不同的兩點，直線與直線交于點，經過點且與直線垂直的直線交軸于點.

（1）求拋物線的方程和的坐標；

（2）判斷直線與直線的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）平行.

【解析】

(1)由到的準線的距離是與距離的3倍可得p值，從而得到拋物線的方程和的坐標；

(2)方法一：設直線的方程為 ，對m分類討論，分別計算二者的斜率，即可作出判斷.方法二：先考慮直線的斜率不存在時，在考慮直線的斜率存在，設直線的方程為，，聯立求點坐標，利用兩點斜率公式求出，即可得出結論.

(1)拋物線的準線方程為，焦點坐標為 ,

所以有，解得 ,

所以拋物線方程為，焦點坐標為 .

(2)直線 ,

方法一：

設，，

設直線的方程為

聯立方程

消元得，,

所以， ,

,

顯然，

直線的方程為 ,

令，則，則,

因為 ，所以 ,

直線的方程為，

令，則，則

① 當時，直線 的斜率不存在，，可知 ，

直線的斜率不存在，則

② 當時，，，

則

綜上所述，

方法二：

直線

(i) 若直線的斜率不存在，根據對稱性，不妨設，

直線的方程為，則

直線的方程為，即，

令，則，則直線 的斜率不存在，因此

(ii) 設，，

當直線的斜率存在，設直線的方程為，

聯立方程，

消元得，，

整理得，

由韋達定理，可得，

，因為，可得.

顯然，

直線的方程為

令，則，則

因為 ，所以

直線的方程為，

令，則，則

，則

綜上所述， .