Question

【題目】已知橢圓的焦點為，，離心率為，點P為橢圓C上一動點，且的面積最大值為，O為坐標原點.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設點，為橢圓C上的兩個動點，當為多少時，點O到直線MN的距離為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當＝0時，點O到直線MN的距離為定值.

【解析】

（1）的面積最大時，是短軸端點，由此可得，再由離心率及可得，從而得橢圓方程；

（2）在直線斜率存在時，設其方程為，現橢圓方程聯立消元（）后應用韋達定理得，注意，一是計算，二是計算原點到直線的距離，兩者比較可得結論．

（1）因為在橢圓上，當是短軸端點時，到軸距離最大，此時面積最大，所以，由，解得，

所以橢圓方程為．

（2）在時，設直線方程為，原點到此直線的距離為，即，

由，得，

，，

所以，，

，

所以當時，，，為常數．

若，則，，，，，

綜上所述，當＝0時，點O到直線MN的距離為定值.