Question

已知點集L={(x，y)|y=

m

•

n

}，其中

m

=(2x-b，1)，

n

=(1，b+1)，點列P_n（a_n，b_n）在L中，P₁為L與y軸的交點，等差數列{a_n}的公差為1，n∈N₊．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若cn=

5

n•|P1Pn|

(n≥2)，求

lim

n→∞

(c1+c2+…+cn)．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積求出直線L的方程，求出a₁=0，b₁=1，利用等差數列的定義求出求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）利用P_n（a_n，b_n）在L上，求出|P₁P_n|關于n的表達式，通過cn=

5

n•|P1Pn|

(n≥2)，利用裂項法求出前n項和，然后求

lim

n→∞

(c1+c2+…+cn)的值即可．

解答：解：（1）由

y= m • n m =(2x-b，1) n =(1，b+1)

，得y=2x+1
∴L：y=2x+1，
∴P₁（0，1），
則a₁=0，b₁=1，
∴a_n=n-1（n∈N₊），b_n=2n-1（n∈N₊）
（2）由（1）可知P₁（0，1），
當n≥2時，P_n（n-1，2n-1），
|P1Pn|=

(n-1)2+(2n-2)2

=

5

(n-1)．
cn=

5

n|P1Pn|

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

．
∴

lim

n→∞

(c1+c2+…+cn)
=

lim

n→∞

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…(

1

n-1

-

1

n

)]=

lim

n→∞

(1-

1

n

)=1．

點評：本題考查直線、向量、數列的綜合問題，數列通項公式已經前n項和的求法，數列極限的求解方法，考查計算能力，轉化思想．