Question

如圖，在四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，側棱AA₁⊥底面ABCD，AB∥DC，
．

（Ⅰ）求證：CD⊥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）若直線AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值為，求k的值.

Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）1

解析試題分析：（Ⅰ）取CD的中點為E，連結BE，則ADEB為平行四邊形，所以ADBE=4k，所以BC²=BE²+EC²，所以BE⊥DC，所以AD與BC垂直，AA₁⊥面ABCD，所以AA₁⊥CD，所以CD垂直面AA₁D₁D；（Ⅱ）以D為原點，DA，DC，DD₁為軸，建立空間直角坐標系，寫出A、A₁，B₁，C的坐標，求出面AB₁C的一個法向量，算出向量坐標，計算出這兩個向量的夾角，再利用向量夾角與線面角關系，列出關于k的方程，若能解出k值..
試題解析：（Ⅰ）取CD的中點E，連結BE.
∵AB∥DE，ABDE3k，∴四邊形ABED為平行四邊形，     2分
∴BE∥AD且BEAD4k.
在△BCE中，∵BE4k，CE3k，BC5k，∴BE²＋CE²BC²，
∴∠BEC90°，即BE⊥CD，
又∵BE∥AD，∴CD⊥AD.                                              4分
∵AA₁⊥平面ABCD，CD平面ABCD，
∴AA₁⊥CD．又AA₁∩ADA，
ADD₁A₁.                                  6分
（Ⅱ）以D為原點，，，的方向為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，

則
所以，，．
設平面AB₁C的法向量n(x，y，z)，
則由得
取y2，得.  9分
設AA₁與平面AB₁C所成角為θ，則
sin θ|cos〈，n〉|，
解得k1，故所求k的值為1.         12分
考點：面面垂直的性質，線面垂直的判定，線面角的計算，推理論證能力，運算求解能力，空間想象能力