Question

（本小題滿分14分）

若一個數列各項取倒數后按原來的順序構成等差數列，則稱這個數列為調和數列．已知數列是調和數列，對于各項都是正數的數列，滿足．
（Ⅰ）求證：數列是等比數列；
（Ⅱ）把數列中所有項按如圖所示的規律排成一個三角形數表，
當時，求第行各數的和；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的數列，若數列滿足
，求證：數列為等差數列.

Answer 1

（Ⅰ）證明：因為，且數列中各項都是正數，
所以 ．
設，               ①
因為數列是調和數列，故，．
所以．                                 ②
由①得，
代入②式得，即.
故. 所以數列是等比數列．    ………………………………5分
（Ⅱ）設的公比為，則，即．由于，故．
于是．
注意到第行共有個數，
所以三角形數表中第1行至第行共含有個數.
因此第行第1個數是數列中的第項.
故第行第1個數是，
所以第行各數的和為．  …………10分
（Ⅲ）由 ，得，
即，所以，        ①
                        ②
②—① 得 ，
即，  ③
，  ④
④-③ 得 ，即.
所以為等差數列．           ………………………………………………14分

解析