Question

如圖，三棱錐D-ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，AD=3，E為AB的中點(diǎn)，AD⊥平面ABC．
（Ⅰ） 求證：平面CDE⊥平面ABD；
（Ⅱ） 求直線(xiàn)AD和平面CDE所成的角的大小；
（Ⅲ） 求點(diǎn)A到平面BCD的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)AD⊥平面ABC，可得AD⊥CE，又△ABC為正三角形，E為AB的中點(diǎn)，可知CE⊥AB，從而CE⊥平面ABD，故可得平面CDE⊥平面ABD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面CDE⊥平面ABD，所以AD在平面CDE上的射影為DE，故∠ADE即為所成的角，在Rt△ADE中，AE=2，AD=3，故可求直線(xiàn)AD與平面CDE所成的角；
（Ⅲ）取BC的中點(diǎn)M，連接DM，過(guò)A點(diǎn)在平面DAM內(nèi)作AN⊥DM于N，可證得BC⊥平面DAM，所以AM⊥平面BCD，利用DM•AN=DA•AM
可求點(diǎn)A到平面BCD的距離．

解答：解：（Ⅰ）∵AD⊥平面ABC，CE?平面ABC∴AD⊥CE，
又∵△ABC為正三角形，E為AB的中點(diǎn)，
∴CE⊥AB而AB∩AD=A
∴CE⊥平面ABD，又CE?平面CDE
∴平面CDE⊥平面ABD
（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面CDE⊥平面ABD，
∴AD在平面CDE上的射影為DE，所以∠ADE即為所成的角．
△ADE為Rt△，且AE=2，AD=3，∴tan∠ADE=

2

3

∴∠ADE=arctan

2

3

，即直線(xiàn)AD與平面CDE所成的角為arctan

2

3

（Ⅲ）取BC的中點(diǎn)M，連接DM，過(guò)A點(diǎn)在平面DAM內(nèi)作AN⊥DM于N
證得BC⊥平面DAM，所以AM⊥平面BCD
AM=2

3

，DM=

21

，
利用等面積可知，DM•AN=DA•AM
所以

21•

AN=6

3

∴AN=

6 7

7

點(diǎn)評(píng)：本題以三棱錐為載體，考查線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，考查面面垂直，考查線(xiàn)面角，考查點(diǎn)面距離，綜合性強(qiáng)．