Question

設函數f（x）=2x³-3（a+3）x²+18ax-8a，x∈R。
（1）當a=-1時，求函數f（x）的極值；
（2）若函數f（x）在區間[1，2]上為減函數，求實數a的取值范圍；
（3）當方程f（x）=0有三個不等的正實數解時，求實數a的取值范圍。

Answer 1

解：f'（x）=6x²-6（a+3）x+18a=6（x-3）（x-a）
 （1）當a=-1時，f'（x）=6（x-3）（x+1）
令f'（x）>0，得x<-1或x>3
所以f(x)在（-∞，-1）和（3，+∞）上單調遞增，
在（-1，3）上單調遞減，
當x=-1時，f（x）_極大=f（-1）=18
當x=3時，f（x）_極小=f（3）=-46。
 （2）依題意：f'（x）=6[x²-（a+3）x+3a]≤0在x∈[1，2] 恒成立
因x∈[1，2]，3-x>0，
故在x∈[1，2]恒成立，
所以a≤x_min=1。
（3）顯然，x=3或x=a是極值點，
依題意，當方程f（x）=0有三個不等的正實數解時，有：

即
∴或a>8為所求。