Question

（09年長郡中學一模文）（12分）

如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，

（I）求證：平面BCD；

（II）求異面直線AB與CD所成角的余弦；

（III）求點E到平面ACD的距離．

Answer 1

解析：方法一：

       （I）證明：連結OC

       ………1分

      

       在中，由已知可得

       而   

       即……………3分

        又

      平面……………4分

（II）解：取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知

       直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角。……………5分

        在中，

       ……………6分

       是直角斜邊AC上的中線，

     ……………7分

       異面直線AB與CD所成角大小的余弦為；……………8分

       （III）解：設點E到平面ACD的距離為

     ……………9分

在中，

         ……………10分

而……………11分

         

點E到平面ACD的距離為……………12分

       方法二：

       （I）同方法一．……………4分

       （II）解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，

則………………6分

       …………7分

………9分

       異面直線AB與CD所成角大小的余弦為；……………8分

       （III）解：設平面ACD的法向量為則      

……………9分

      

       令得是平面ACD的一個法向量．……………10分

       又 點E到平面ACD的距離

……………12分