Question

已知函數f(x)=Asin(ωx+

π

6

)（其中x∈R，A＞0，ω＞0）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為

π

2

，且圖象上一個點為M(

2π

3

，-2)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[0，

π

4

]求函數f（x）的值域；
（3）將函數y=f（x）的圖象向左平移

π

2

個單位，再將圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，求經以上變換后得到的函數解析式．

Answer 1

分析：（1）根據已知可求出函數的周期，進而求出ω值，代入點M(

2π

3

，-2)可得A值，進而求出f（x）的解析式；
（2）由x∈[0，

π

4

]可求出相位角的取值范圍，結合正弦函數的性質可得此時函數f（x）的值域；
（3）根據（1）中函數的解析式，結合函數圖象的平移變換法則及伸縮變換法則，可得變換后函數的解析式．

解答：解：（1）∵f(x)=Asin(ωx+

π

6

)的圖象與x軸相鄰兩個交點之間的距離為

π

2

，
∴T=π
又∵ω＞0
∴ω=2
又∵圖象上一個點為M(

2π

3

，-2)．
∴-2=Asin(

4π

3

+

π

6

)
解得A=2
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)
（2）∵x∈[0，

π

4

]
∴2x+

π

6

∈[[

π

6

，

2π

3

]
當2x+

π

6

=

π

6

，即x=0時，f（x）取最小值1
當2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時，f（x）取最大值2
故x∈[0，

π

4

]時，函數f（x）的值域為[1，2]
（3）∵將函數f(x)=2sin(2x+

π

6

)的圖象向左平移

π

2

個單位
可得函數f(x)=2sin[2(x+

π

2

)+

π

6

]=-2sin(2x+

π

6

)的圖象
再將圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，
可得函數f(x)=-2sin(x+

π

6

)的圖象

點評：本題考查的知識點是正弦型函數解析式是求法，正弦型函數的圖象和性質，正弦型函數的圖象變換，是正弦型函數圖象和性質的綜合應用，難度中等．