Question

如圖，PA垂直于矩形ABCD所在平面，E、F分別是AB、PD的中點.

(1)求證：AF∥平面PCE；

(2)若二面角P—CD—B為45°，求二面角E—PC—D的大小.

Answer 1

解析：(1)取PC的中點G，連結EG、FG.

∵F是PD的中點，

∴FGCD.

∴四邊形AEGF為平行四邊形.

∴AF∥EG.

∵EG平面PCE，

∴AF∥平面PCE.

(2)∵PA⊥平面ABCD，

    又AD⊥CD，

∴CD⊥PD(三垂線定理).

∴CD⊥平面PAD.

∴∠PDA為二面角P—CD—B的平面角.

∴∠PDA=45°.

∴PA=AD.

    又F為PD中點，

∴AF⊥PD.

    又CD⊥平面PAD，

∴CD⊥AF.

∴AF⊥平面PCD.

    又AF∥EG，

∴EG⊥平面PCD.

    又EG面PCE，

∴面PEC⊥面PCD.

∴二面角E—PC—D為90°.