Question

（本小題滿分14分）
如圖5, 已知拋物線，直線與拋物線交于兩點，
，，與交于點.

（1）求點的軌跡方程；
（2）求四邊形的面積的最小值.

Answer 1

（1）  （2）

（本小題主要考查拋物線、求曲線的軌跡、均值不等式等基礎知識，考查數形結合、函數與方程、化歸與轉化的數學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力、創新意識）
解法一:
（1）解：設，
∵，
∴是線段的中點.                  ………… 2分
∴，①        ……… 3分
.                     ②    …… 4分
∵， ∴.
∴.                  ……… 5分
依題意知，
∴.                       ③       ………… 6分
把②、③代入①得：，即.……… 7分
∴點的軌跡方程為.   ………… 8分
(2)解：依題意得四邊形是矩形，
∴四邊形的面積為
            ………… 9分


.                      …… 11分
∵，當且僅當時，等號成立， …………… 12分
∴.               ………… 13分
∴四邊形的面積的最小值為.                ……… 14分
解法二:
(1)解:依題意,知直線的斜率存在,設直線的斜率為,
由于,則直線的斜率為.                  …………… 1分
故直線的方程為,直線的方程為.
由 消去,得.
解得或.                     …………… 2分
∴點的坐標為.               ……… 3分
同理得點的坐標為.             …… 4分
∵，
∴是線段的中點.                    ……… 5分
設點的坐標為,
則              …………… 6分
消去,得.          …………… 7分
∴點的軌跡方程為.        ……… 8分
(2)解：依題意得四邊形是矩形，
∴四邊形的面積為
         …………… 9分
                       …………… 10分
                      …………… 11分
.                                    …………… 12分
當且僅當,即時,等號成立.       …………… 13分
∴四邊形的面積的最小值為.       …………… 14分