Question

討論函數(shù)f（x）=(

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)x2-2x的單調(diào)性，并求其值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令t=x²-2x，則y=(

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)t，本題即研究函數(shù)t的單調(diào)性．利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)t的單調(diào)區(qū)間，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，從而求得函數(shù)y的單調(diào)區(qū)間；再由二次函數(shù)的值域，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和值域，可得函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：令t=x²-2x，則y=(

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)t，
由于二次函數(shù)t=x²-2x=（x-1）²-1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得
t的減區(qū)間為（-∞，1）、增區(qū)間為[1，+∞）．
故由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，
函數(shù)y的減區(qū)間為[1，+∞），增區(qū)間為（-∞，1）；
再根據(jù)t≥-1，可得(

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)t≤(

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)-1=5，但f（x）＞0，
故函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，5]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題和易錯(cuò)題．