Question

【題目】已知函數f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數根，則t的取值范圍

Answer 1

【答案】
【解析】f（x）=|xex|=
當x≥0時，f′（x）=ex+xex≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上為增函數；
當x＜0時，f′（x）=﹣ex﹣xex=﹣ex（x+1），
由f′（x）=0，得x=﹣1，當x∈（﹣∞，﹣1）時，f′（x）=﹣ex（x+1）＞0，f（x）為增函數，
當x∈（﹣1，0）時，f′（x）=﹣ex（x+1）＜0，f（x）為減函數，
所以函數f（x）=|xex|在（﹣∞，0）上有一個極大值為f（﹣1）=﹣（﹣1）e﹣1= ，
要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數根，
令f（x）=m，則方程m2+tm+1=0應有兩個不等根，且一個根在(0,)內，一個根在(,+)內，
再令g（m）=m2+tm+1，
因為g（0）=1＞0，
則只需g（）＜0，即 ， 解得：t＜﹣ ．
所以，使得函數f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數根的t的取值范圍
是 ．
故答案為 ．
函數f（x）=|xex|是分段函數，通過求導分析得到函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，在（﹣∞，﹣1）上為增函數，在（﹣1，0）上為減函數，求得函數f（x）在（﹣∞，0）上，當x=﹣1時有一個最大值 ， 所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數根，f（x）的值一個要在(0,)內，一個在(,+)內，然后運用二次函數的圖象及二次方程根的關系列式求解t的取值范圍．