Question

（本小題滿分12分）

設函數f(x)=ax+(a,b∈Z)，曲線y=f(x)在點（2，f(2)）處的切線方程為y=3。

（Ⅰ）求f(x)的解析式：

（Ⅱ）證明：函數y=f(x)的圖像是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；

（Ⅲ）證明：曲線y=f(x)上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值。

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）證明見解析。

（Ⅲ）證明見解析。

解析:

（Ⅰ），

于是。

解得或。

因，故。

    （II）證明：已知函數都是奇函數，

所以函數也是奇函數，其圖像是以原點為中心的中心對稱圖形。

而函數。

可知，函數的圖像按向量a=(1,1)平移，即得到函數的圖象，故函數的圖像是以點（1，1）為中心的中心對稱圖形。

（III）證明：在曲線上任一點。

由知,過此點的切線方程為。

令得，切線與直線交點為。

令得，切線與直線交點為。

直線與直線的交點為(1,1)。

從而所圍三角形的面積為。

所以，所圍三角形的面積為定值2。