Question

如圖正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，
AB=AD=2，CD=4，M為CE的中點．
（Ⅰ）求證：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面BEC；
（Ⅲ）求平面BEC與平面ADEF所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）取DE中點N，連接MN，AN，由三角形中位線定理，結合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN，再由線面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；
（II）由已知中正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，易得ED⊥平面ABCD，進而ED⊥BC，由勾股定理，我們易判斷出△BCD中，BC⊥BD，由線面垂直的判定定理可得BC⊥平面BDE，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面BDE⊥平面BEC；
（III）以D為原點，DA，DC，DE所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面BEC與平面ADEF的法向量，代入向量夾角公式，即可求出平面BEC與平面ADEF所成銳二面角的余弦值．

解答：證明：（I）取DE中點N，連接MN，AN
在△EDC中，M、N分別為EC，ED的中點，所以MN∥CD，且MN=

1

2

CD．
由已知AB∥CD，AB=

1

2

CD，所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN
又因為AN?平面ADEF，
且BM?平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF．（4分）
（II）在正方形ADEF中，ED⊥AD，
又因為平面ADEF⊥平面ABCD，
且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，
AB=AD=2，CD=4，可得BC=2

2

在△BCD中，BD=BC=2

2

，CD=4，
所以BC⊥BD．
所以BC⊥平面BDE，又因為BC?平面BCE，
所以平面BDE⊥平面BEC．（9分）
解：（III）由（2）知ED⊥平面ABCD，且AD⊥CD．
以D為原點，DA，DC，DE所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．
B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，2），平面ADEF的一個法向量為

m

=（0，1，0）．
設

n

=（x，y，z）為平面BEC的一個法向量，因為

BC

=(-2，2，0)，

CE

=(0，-4，2)
∴

-2x+2y=0 -4y+2z=0

令x=1，得y=1，z=2
所以

n

=（1，1，2）為平面BEC的一個法向量
設平面BEC與平面ADEF所成銳二面角為θ
則cosθ=

m • n

| m |•| n |

=

6

6

所以平面BEC與平面ADEF所成銳二面角為余弦值為

6

6

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，熟練掌握空間直線與平面不同位置關系（平行和垂直）的判定定理、性質定理、定義及幾何特征是解答本題的關鍵．