Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點，N為弦AB的中點．
（1）求直線ON（O為坐標原點）的斜率k_ON；
（2）設(shè)M橢圓C上任意一點，且，求λ+μ的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓的焦距為2c，因為，所以有，故有a²=3b²．橢圓C的方程可化為：x²+3y²=3b²，右焦點F的坐標為（），據(jù)題意有AB所在的直線方程為：再結(jié)合韋達定理能夠求出斜率k_ON．
（2）與可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對于這一平面內(nèi)的向量，有且只有一對實數(shù)λ，μ，使得等式成立．由此入手能夠求出λ+μ的最大值和最小值．
解答：解：（1）設(shè)橢圓的焦距為2c，因為，所以有，故有a²=3b²．
從而橢圓C的方程可化為：x²+3y²=3b²①
易知右焦點F的坐標為（），
據(jù)題意有AB所在的直線方程為：②
由①，②有：③
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中點N（x，y），由③及韋達定理有：．
所以，即為所求．
（2）顯然與可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對于這一平面內(nèi)的向量，有且只有一對實數(shù)λ，μ，使得等式成立．設(shè)M（x，y），由1）中各點的坐標有：（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），所以x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂．
又點在橢圓C上，所以有（λx₁+μx₂）²+3（λy₁+μy₂）²=3b²整理為λ²（x₁²+3y₁²）+μ²（x₂²+3y₂²）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²．④
由③有：．所以⑤
又A﹑B在橢圓上，故有（x₁²+3y₁²）=3b²，（x₂²+3y₂²）=3b²⑥
將⑤，⑥代入④可得：λ²+μ²=1.，故有
所以，
點評：本題考查直線 和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．